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Equivalência estática

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A ação de uma força deslocada sobre uma chave inglesa, é estaticamente equivalente a uma força e um momento aplicados sobre o centro geométrico da porca.

A equivalência estática é uma relação de equivalência entre sistemas de forças aplicadas sobre um corpo. Dados dois sistemas de forças se diz que são estaticamente equivalentes se e somente se a força resultante e o momento resultante de ambos sistemas de forças são idênticos.

Portanto escreveremos que:

Quando acontece que:

Onde:

  • são os vetores diretores desde um ponto fixo aos pontos de aplicação das forças .

A definição de equivalência estática anterior pode estender-se quando existem momentos, forças distribuídas ou tensões em corpos deformáveis, como discutido abaixo.

Força resultante

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Dado um sistema de forças aplicadas sobre um corpo K e formado por forças pontuais, momentos pontuais, forças distribuidas linearmente e tensões (forças por unidade de área) e forças de volume, a força resultante das mesmas se escrive como:

Onde:

são as forças pontuais, as forças distribuidas linearmente e as forças por unidade de volume.
é o elemento de linha sobre a curva contida na superfície do corpo; e são respectivamente o elemento de área sobre a superfície do corpo e o elemento de volume.
é o tensor tensão sobre a superfície do corpo.
é o vetor normal à superfície do corpo.

Alguns autores definem a resultante de um sistema de forças como aquela única força (se existe) que "exerce o mesmo efeito" que todas as do sistema. Ainda que isto requeira encontrar um ponto de passagem desta força resultante, o que em geral constitui uma parte um tanto mais difícil de calcular (em duas dimensões uma possível maneira de resolvê-lo é usar o polígono funicular de forças).

Devemos esclarecer que podemos entender por "exercer o mesmo efeito", por exemplo, que o movimento do corpo seja o mesmo a partir das mesmas condições iniciais. Ou também, produzir o mesmo efeito pode ser que em ambos os casos se alcance o equilíbrio com a mesma agregação de outras forças.

Essas duas definições não são sempre equivalentes. Um par de forças de torque idênticas e de sinal contrário aplicadas em pontos diferentes, por exemplo, teria uma resultante nula de acordo com a primeira definição (e um momento resultante diferente de zero); mas sim um torque carece de resultante de acordo com a segunda definição, porque não existe uma única força que produza o mesmo efeito que as duas do par.

Momento resultante

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Dado um corpo K e um conjunto de forças, momentos e forças por unidade de comprimento, área e volume o momento resultante em relação a um ponto O de todas elas é:


Onde além das grandezas introduzidas para calcular a força resultante, se introduziu que são os momentos pontuais aplicados, e os vetores posição das cargas aplicadas em relação ao ponto O.

Forças nodais equivalentes

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Dada uma estrutura de barras elásticas, como as comumente consideradas no método matricial, as forças nodais equivalentes são um sistema de forças (formado por forças e momentos pontuis) estaticamente equivalente às forças reais aplicadas sobre a estrutura que permite calcular os deslocamentos e deformações de tal estrutura.

Teorema de equivalência estática das reações

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Um resultado importante que relaciona as forças atuantes sobre um sólido ou estrutura resistente com as reações que impedem que este tenha movimentos compatíveis com um sólido rígido é o seguinte:

Dado um sistema resistente E em equilíbrio sobre o qual atuam um conjunto de forças e para o qual existem m uniões ou enlaces que impedem seu movimento de sólido rígido exercendo forças de reação , resulta que o conjunto de forças é estaticamente equivalente ao conjunto de reações altyeradas em sinal , ou seja, que:

A demonstração deste teorema resulta trivial e se origina das equações de equilíbrio, já que a soma de forças e reações para que um corpo esteja em equilíbrio requerem que a força resultante seja zero e o momento resultante também, passadas as reações a um membro e as forças ao outro, resulta que as somas de forças é igual à soma de reações alteradas em sinal, etc.

Aplicação em cálculos de estruturas

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Em cálculo de lajes utiliza-se a equivalência estática entre o momento torsor e as forças de corte. Esta equivalência é aplicada no tratamento das condições de fronteira das bordas livres, quando verifica-se haver uma determinada relação entre as condições de serem nulos o momento torsor e o esforço transversal nessas bordas.[1]

A estrutura de uma edificação submetida à ações horizontais e verticais simultâneas apresenta acréscimos chamados de segunda ordem nos esforços tanto maiores quanto mais elevados os seus deslocamentos. Normalmente, a avaliação do acréscimo de esforços devido à consideração destas ações de segunda ordem é feita de forma iterativa. Em tais procedimentos de cálculo empregam-se processos rigorosos que incorporam a consideração da não linearidade geométrica.[2][3] Alternativamente, por questões práticas, são utilizados métodos simplificados, como processos que permitem a atualização das configurações de equilíbrio com procedimento iterativo simples. Dentre estes processos, destaca-se o processo P-Δ, que inclui o cálculo de binários de forças adicionais ao longo da altura da edificação pela sua equivalência estática aos momentos provenientes das ações verticais atuando nos deslocamentos horizontais, que são sucessivamente atualizados o surgimento de uma solução convergente.[4]

  1. V.M.A. Leitão, J.A. Teixeira de Freitas, L.M.S.S. Castro e O.J.B.A. Pereira; Apontamentos sobre análise elástica linear de lajes; Departamento de Engenharia Civil, Instituto Superior Técnico - IST, , 1996
  2. CORRÊA, M. R. S. Aperfeiçoamento de modelos usualmente empregados no projeto de sistemas estruturais de edifícios. 1991. 331 f. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, USP, São Carlos.
  3. PINTO, R. S. Análise não-linear das estruturas de contraventamento de edifícios em concreto armado. 2002. 189 f. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, USP.
  4. Leandro B. Campoó, Marcio R. S. Corrêa, Marcio A. Ramalho; EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM EDIFÍCIOS DE ALVENARIA ESTRUTURAL; Minerva, 2(2): 173-184 - www.fipai.org.br